Arguti matematici d’intorno
3.4 Strumenti matematici per la misura del mondo
Buongiorno,
ben ritrovate e ben ritrovati su Sillabe. Abbiamo cominciato a seguire il percorso di Teoria dei canti, poema in tre cantiche e in terzine dantesche che parla della materia, del numero e della parola, cioè della fisica, della matematica e del linguaggio, e lo fa con le sembianze di un viaggio immaginario fra concetti e personaggi, cercando di tenere insieme le forme chiuse della metrica italiana e i contenuti della scienza e della filosofia sottostante, senza indulgere all’eccesso di meraviglia ma non rinunciando alle potenzialità dell’espressione poetica.
Il libro nel suo complesso è disponibile
qui in cartaceo
e qui in ebook.
Ogni settimana faremo perno su qualche stralcio dell’opera per parlare un po’ più a fondo degli argomenti che vengono sollecitati dai versi, per farci delle domande e per cercare di vedere le cose da più punti di vista. Ci eravamo lasciati venerdì scorso fra i numeri della statistica, sul finire del secondo canto: oggi concludiamo il canto parlando di distribuzione normale e poi ci addentriamo nel terzo canto, dove cominceremo a interrogarci su che cosa voglia dire misurare, da un punto di vista matematico.
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Teoria dei canti
Il secondo canto si chiude con un argomento chiave della statistica, vale a dire la distribuzione gaussiana, o normale. È la famosissima curva a campana, che vediamo spesso quando si tratta di analizzare fenomeni sociali, ma che compare un po’ dovunque quando si parla di scienza: è la distribuzione che descrive tutti quei fenomeni in cui abbiamo una quantità di valori casuali che tendono a distribuirsi attorno a un unico valore medio. La gaussiana è una funzione importante: è simmetrica e ha la proprietà che la media coincide con la mediana, che è il valore che si trova a metà della distribuzione, e con la moda, che è il valore che compare più di frequente.
Ma è anche importante perché fa da riferimento a molte altre distribuzioni, grazie a un risultato che si chiama teorema del limite centrale: se abbiamo un buon numero di variabili indipendenti, casuali e identicamente distribuite e non sappiamo come si comportino nel loro complesso, sappiamo per che man mano che il loro numero aumenta esse tenderanno sempre di più a distribuirsi in una forma che ricorda quella della gaussiana.
La funzione è poi definita essenzialmente da due valori: la media e la deviazione standard σ (o equivalentemente il suo quadrato, la varianza), cioè la larghezza della campana a metà altezza, che ci dice quanto i dati si disperdono attorno al valor medio. Una delle peculiarità della gaussiana è che quasi tutti i dati (il 99.7% circa) sono compresi in un intervallo che va da -3σ a +3σ, come ci riferiscono i versi seguenti, che sono quelli con cui il secondo canto finisce.
Torna irruenta un’amica presenza: 126
e la sua corsa non è stata vana,
ché mi raggiunge e mi porge un saluto.
Gauss con voce tonante di campana 129
dice quanto non dev’esser taciuto
e par che a tutto il mondo si rivolga:
“Grande e sublime fu il mio contributo, 132
e a chi l’ignora, male gliene incolga.
Da me lontano non c’è che lo stigma!
Che il mondo sia normale, e non si dolga: 135
sta quasi tutto entro più o men tre sigma”.
Fare scienza vuol dire accumulare dati e saperli vagliare con opportuno criterio. Ma implica anche avere a disposizione degli strumenti matematici adatti, e non si può parlare di scienza moderna senza avere a che fare con il calcolo differenziale. Nato nel XVII secolo per risolvere problemi concreti di fisica e geometria, ha trasformato radicalmente il modo in cui concepiamo il cambiamento e il movimento, fornendoci al contempo la possibilità di uno sviluppo tecnico e spunti profondi di riflessione filosofica. Dal tentativo di catturare l’infinitesimo alla formalizzazione rigorosa dei limiti, ha mostrato come la matematica proceda per idealizzazioni concettuali che, pur non corrispondendo sempre a oggetti concreti, permettono di comprendere e controllare il reale. Se una prima concettualizzazione del calcolo differenziale e integrale si può far risalire al metodo di esaustione di Eudosso e Archimede (ne parleremo nel canto 20), la forma con cui lo conosciamo adesso è debitrice soprattutto dei contributi di Newton e Leibniz. Per Newton, il calcolo nacque dall’urgenza di formalizzare i concetti di velocità istantanea e accelerazione: se una certa funzione matematica descriveva il moto di un corpo, la derivata di questa funzione era la velocità con cui una grandezza fluiva. Leibniz, che vedeva il calcolo come un linguaggio universale capace di rappresentare l’armonia del mondo, adottò una prospettiva più astratta e generale. Per lui l’infinitesimo era uno strumento logico: si trattava di un elemento più piccolo di qualsiasi grandezza reale ma diverso da zero, utile per descrivere rapporti istantanei di variazione. È da notare che gli infinitesimi rimasero un oggetto mal definito e scivoloso ancora per un pezzo: funzionavano, e quindi li si usava, ma si dovette attendere Weierstrass, nel XIX secolo, per una formalizzazione completa.
Così dai Lumi infine sono nate
unità di misura generali
per le grandezze che son derivate 3
o che si pongono fondamentali;
degli strumenti chiediamo sian fatti
pronti e sensibili, dunque leali, 6
precisi ed accurati e quindi adatti,
pur se l’errore non va via di torno,
e non si fingono d’essere esatti. 9
Nerastro cala infine il primo giorno,
senza riposo mi giro e domando.
Arguti matematici d’intorno 12
tutti m’assalgono ognuno parlando,
e ognuno manifesta il suo talento:
Lagrange le variazioni calcolando, 15
di lì c’è Weierstràss, che un po’ a rilento
cerca minimi e massimi. “La vera
attribuzione prima, mi lamento” 18
fa Newton a un collega, nella sera
“del differenzial calcolo fu mia”
e Leibniz di rimando: “Brutta cera 21
m’appare sul tuo viso. Ma suvvia!
Son io padre del calcolo, mio caro,
non devi pianger oltre e così sia.” 24
Fare scienza, abbiamo detto, vuol poi dire misurare. Ma che vuol dire, invece, misurare? Da un punto di vista fisico è presto detto: bisogna avere degli strumenti per osservare il mondo, metterci in condizione di confrontare i fenomeni naturali, ripetere il procedimento tante volte in modo da gestire gli errori che inevitabilmente sono connessi all’attività di misura. Misurare ha anche un significato matematico più essenziale, che ha a che fare sì con il problema pratico di misurare lunghezze, aree e volumi, ma che diventa poi una teoria a sé stante, più ampia, che generalizza i concetti geometrici con cui abbiamo a che fare nella vita di tutti i giorni.
Ecco dunque che compaiono gli strumenti matematici opportuni: l’integrale di Riemann e quello di Lebesgue, per esempio; e la teoria della misura vera e propria, che si prende la briga di misurare insiemi qualsivoglia, e di capire che cosa vuol dire misurare insiemi qualsivoglia. Detto in modo intuitivo e non tecnico: una misura è una generica funzione che prende un particolare insieme e gli associa un numero, che chiameremo misura dell’insieme, e si comporta in modo che se l’insieme è vuoto il valore della misura è zero, che la misura di un insieme arbitrario non può essere un numero negativo e che se due insiemi non hanno elementi in comune la misura della loro unione è uguale alla somma delle misure dei due insiemi presi singolarmente. Se tutto ciò vi ricorda quanto detto per la probabilità la settimana scorsa, beh… è bene che lo faccia!
Ma veniamo ai versi del canto.
“Ti han detto di strumenti, attenzione!
Chiediti pur che cos’è una misura 30
teoricamente”. Qui, sine flexione,
curva e si muove Giuseppe Peano.
“Considerar la devi qual funzione 33
e, quanto ti dirò non sembri arcano,
su quella che sigm’algebra vien detta.”
Quindi prosegue, parlando più piano: 36
“la chiedi positiva e poi costretta
alle disuguaglianze che gli esperti
dicono del triangolo. Le spetta 39
un gran lavoro e tutti ne siam certi.
Chiudiamo con alcune riflessioni sulla misura. La teoria della misura è nata come estensione rigorosa delle nozioni di lunghezza, area e volume, e grazie a Lebesgue è arrivata a poter misurare insiemi estremamente complicati. Esistono, però, degli insiemi che resistono al tentativo di misurarli, ossia sono tetragoni all’idea che esista una funzione capace di associarli in modo coerente a un numero. Un esempio classico è l’insieme di Cantor. È un insieme che si costruisce così: prendete l’intervallo di numeri reali tra 0 e 1. Potete proprio disegnarlo su un foglio di carta: un segmento, un tratto di penna, con uno 0 sull’estremo sinistro e un 1 sul destro. Bene, ora dividetelo in tre parti uguali: avrete l’insieme (0,1/3), l’insieme (1/3,2/3), l’insieme (2/3,1). Usiamo la convenzione che il punto 1/3 appartiene all’insieme (0,1/3) e il punto 2/3 appartiene all’insieme (2/3, 1). Ora rimuovete il segmento di mezzo, vale a dire l’insieme (1/3,2/3), e restiamo con le due “ali” a destra e a sinistra. Per ciascuna delle due “ali”, stesso procedimento di prima: dividete in tre e togliete il terzo centrale. E andate avanti all’infinito: potete, perché tra 0 e 1 c’è un’infinità non numerabile di punti. Ora considerate l’insieme fatto da… tutto quello che resta. È un insieme pieno di buchi, infinitamente pieno di buchi, ma anche infinitamente pieno di punti. Si dimostra (e qui mi fermo perché siamo in una newsletter di poesia) che questo insieme non è misurabile in alcun modo, almeno per come abbiamo definito le misure fino a ora.
Dal punto di vista epistemico, questo significa che la matematica non coincide più con l’idealizzazione perfetta delle intuizioni geometriche, ma si configura come un sistema di regole i cui confini sono determinati anche da scelte assiomatiche. In particolare, l’esistenza inevitabile di insiemi non misurabili si basa sull’assioma della scelta, che è uno degli assiomi critici della teoria assiomatica con cui fondiamo la matematica.
Possiamo quindi farci domande su quali siano le relazioni fra possibilità matematica ed effettiva costruzione di oggetti matematici dimostrati possibili; possiamo interrogarci sul modo in cui il concetto di misura in matematica rifletta le misure fisiche che siamo abituati a fare, dal momento che è dal punto di vista empirico non esiste, per esempio, un corrispettivo dell’insieme di Cantor. Possiamo lanciarci in una serie di interpretazioni filosofiche: gli insiemi non misurabili esistono indipendentemente dai nostri strumenti, e noi li scopriamo? Oppure la loro esistenza è semplicemente una conseguenza di regole interne a un gioco assiomatico, e fuori da quel contesto non hanno realtà? Questi oggetti non sono conoscibili, perché non possono essere costruiti, e dunque non hanno significato matematico autentico?
C’è questa terra porosa e rotonda
e misurata da leggi e disfide
che prende numeri instabili e ride,
di ogni matematica feconda.
E dal pensiero ribatte, di sponda,
ciò che si sceglie prima e si decide
e dove postulare scarne guide
sopra le quali la scelta si fonda,
coi suoi rimandi lividi da dire
che sono forme né morte né vive
fuori dal mondo nostro ch’è sensibile,
e quel che non è dato costruire
s’immagina, si tenta e si descrive
e si dimostra essere possibile.
Lasciamo inevase le domande, perché la prossima volta dovremo occuparci di un fatto che finora, parlando di misura, abbiamo dato per scontato: ossia la consapevolezza di poter dire quando due punti sono vicini e quando no. Venerdì prossimo vedremo infatti, concludendo il terzo canto, l’importanza di stabilire una topologia in un insieme, e in che modo ciò sia collegato alla fisica con cui leggiamo il mondo.
Alla prossima!